À toa (com crase)
Esta é a forma mais comum e a que geralmente causa dúvidas. É uma locução que possui duas funções diferentes, mas hoje a grafia é sempre a mesma: separada e com acento grave indicativo da crase.
1. Como Locução Adverbial (de modo)
Significa "ao acaso", "sem motivo", "inutilmente", "sem rumo". Modifica a ação (o verbo).
"Ele passou o dia à toa, sem fazer nada."
"Não se preocupe à toa, tudo vai dar certo."
2. Como Locução Adjetiva
Qualifica algo ou alguém como "inútil", "desocupado", "insignificante". Caracteriza o nome (o substantivo). Importante: é invariável (não vai para o plural ou feminino).
"Ele é um sujeito à toa."
"Não dê ouvidos a essas conversas à toa." (e não "às toas")
A crase aqui indica a fusão da preposição "a" com o artigo feminino "a" que acompanha o substantivo "toa". A regra se aplica a muitas locuções femininas:
Acontece o mesmo com: à tarde, à noite, à vontade, às pressas.
O hífen foi abolido nesta expressão pelo Novo Acordo Ortográfico de 2009. Antes, usava-se:
- à-toa: para a função de adjetivo.
- à toa: para a função de advérbio.
Hoje, a forma à toa (sem hífen) vale para os dois casos, simplificando a escrita.
Atoa (verbo, tudo junto)
"Atoa" é a conjugação do verbo atoar, que é muito raro e significa rebocar ou puxar uma embarcação com uma corda (uma "toa").
Conjugação
A forma "atoa" aparece na 3ª pessoa do singular do presente do indicativo.
"O comandante do rebocador atoa o grande navio até o porto."
(Ou seja: ele reboca o navio)

A toa (artigo + substantivo)
Aqui, temos duas palavras separadas: o artigo "a" e o substantivo "toa". "Toa" é o nome da corda grossa ou cabo de aço usado para rebocar navios.
Significado
Refere-se ao objeto físico, a corda.
"O marinheiro verificou se a toa estava bem presa antes de iniciar a manobra."
